อธิบายความเร่งสู่ศูนย์กลาง

เมื่อแกว่งวัตถุเป็นวงกลม ทุกคนก็รู้จักว่าจะต้องมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง

แต่ก็ไม่ค่อยรู้ว่าสูตรมีที่มาอย่างไร ในที่นี้ผมจะแสดงให้ดูตั้งแต่ต้นจนจบ ด้วยแนวคิดที่อาจแตกต่างไปจากที่หลาย ๆ ท่านเคยพบเห็นนะครับ

1. เริ่มจากรากฐาน

เมื่อพูดถึงการเคลื่อนที่แบบวงกลม เราก็ย่อมจะต้องมี รัศมี (r) และเส้นรอบวงซึ่งยาว 2πr เมื่อการเคลื่อนที่กวาดมุมไป ทำให้เกิดระยะทางบนเส้นโค้ง เราจะนิยาม มุม θ (theta - เทต้า) ว่าเท่ากับ ระยะทางบนเส้นโค้ง หารด้วย รัศมี ของวงกลม

อันนี้ไม่ต้องคิดมาก เพราะมันเป็นนิยามนะครับ ข้อสังเกตอันหนึ่ง คือ เมื่อกวาดมุมไปจนเกิดระยะทางยาวเท่ากับรัศมี r พอดี มุม θ ก็จะมีค่าเท่ากับหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า 1 เรเดียน นั่นเอง

สมมติว่าการเคลื่อนที่ดังกล่าวใช้เวลา τ (tau หรือ เทา) หากเรานำ τ ไปหารทั้งสองข้าง จะได้ว่า

ฝั่งซ้าย  θ / τ  แท้จริงแล้วก็คือ ความเร็วที่กวาดมุมไปได้ในชั่วระยะเวลาหนึ่ง เรียกสิ่งนี้ว่า อัตราเร็วเชิงมุม ω (omega - โอเมกา) ส่วนฝั่งขวา ระยะทางบนเส้นโค้ง หารด้วย ระยะเวลา τ อันนี้เป็น อัตราเร็วเชิงเส้น v ที่เรารู้จักกัน

ดังนั้น

เป็นที่มาของสมการ  v = ω r  ที่หลายท่านเคยเรียนมาแล้ว

*** สมการข้างต้นนี้จะมีประโยชน์สำหรับการไขสูตรในลำดับต่อไป ***

2. เข้าไปยุ่งกับความเร็ว

เมื่อรากฐานแน่นแล้ว ต่อมาเราจะเข้าเรื่องโดยเข้าไปยุ่งกับจังหวะการเคลื่อนที่ไปบนวงกลมบ้าง

สมมติว่าจุดที่หนึ่งและจุดที่สอง วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v₁ และ v₂ ตามลำดับ สังเกตว่าความเร็วมี ขนาด คงที่ เพียงแต่ ทิศทาง เท่านั้นที่เปลี่ยนไป

ต่อมาเราหยิบเฉพาะลูกศรที่แทนความเร็วมาพิจารณา เมื่อจับเอาหางลูกศรมาต่อกัน จะเห็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (Δv) ซึ่งเป็น ลูกศรสีเขียว

หากลดทอนความวุ่นวายลงโดยตัดหัวลูกศรทั้งหมดออก แล้วพิจารณาเฉพาะ ขนาด จะเห็นเป็นรูปสามเหลี่ยมดังนี้

เมื่อนึกถึงความรู้เรขาคณิตพื้นฐาน สามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน เรียกว่า สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งเราจะสามารถ "แบ่งครึ่ง" ออกมาเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน โดยมุมยอด (θ) จะถูกหารสอง เช่นเดียวกันกับด้านฐาน (Δv) ก็จะถูกหารสองด้วยเช่นกัน

พอได้สามเหลี่ยมมุมฉาก เราก็สบายแล้ว เพราะว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม ( Δv / 2 ) จะมีค่าเท่ากับ v sin ( θ / 2 )

และเนื่องจากเรากำลังพิจารณาอัตราเร็ว ณ จุดใดจุดหนึ่งอยู่แล้ว มุม θ ก็ย่อมจะมีค่าน้อย ๆ ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ sin (θ) จะมีค่าประมาณเท่ากับ θ

ประเด็นนี้ทุกท่านสามารถทดลองด้วยตนเองโดยกดเครื่องคิดเลข หรือค้นหาใน Google ระบุว่า "sin 0.02 radian" ผลลัพธ์จะออกมาประมาณ 0.019999 (ทั้งนี้ 0.02 เรเดียน เทียบเท่ามุม 1 องศานิด ๆ) แสดงว่า เมื่อมุมมีค่าน้อย sin (θ) จะมีค่าประมาณ θ นั่นเอง

ดังนั้น

ในบริบทที่มุม θ มีค่าน้อย เราอาจเขียนได้ว่า

ถึงตรงนี้ หากเรานำ τ ไปหารทั้งสองข้างของสมการ และอ้างอิงความรู้จากหัวข้อ 1. (เริ่มจากฐานราก) จะได้

ซึ่งอัตราเร็วที่เปลี่ยนแปลงไป (Δv) ในชั่วระยะเวลา τ  ก็คือ อัตราเร่งสู่ศูนย์กลาง

3. ส่งท้าย

ในความเป็นจริง การพิสูจน์อัตราเร่งสู่ศูนย์กลางสามารถทำได้หลายวิธี บางท่านใช้วิธีสามเหลี่ยมคล้าย หรือบางท่านอาจใช้แคลคูลัส แต่โดยส่วนตัวผมรู้สึกว่า วิธีที่แสดงไปข้างต้นนั้นค่อนข้างชัดเจน ตรงไปตรงมา และเป็นขั้นเป็นตอน

ที่สำคัญ คือ มัน "เจาะ" เข้าไปที่นิยามเลย วาดสามเหลี่ยมรูปเดียว ไม่ต้องเอาไปโยงกับใครให้เกิดความฉงนสงสัยตามมา จึงขอนำมาแบ่งปันด้วยประการฉะนี้

การ (ลงทุน) ตัดผมแบบเน้นมูลค่า

เมื่อผมเริ่มยาวจนรู้สึกรำคาญ มันก็หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะต้อง “ตัดผม” แต่หลายท่านอาจนึกไม่ออกว่ากิจกรรมธรรมดาสามัญอย่างการตัดผมนี้จะสามารถเน้นมูลค่าได้อย่างไร

เริ่มต้นอย่างนี้ก็แล้วกันครับ สมมติว่าค่าตัดผม 100 บาท เป็นราคามาตรฐานในชุมชนของท่าน เมื่อตัดครั้งหนึ่งแล้วสามารถอยู่ไปได้เฉลี่ย 8 สัปดาห์ ก่อนจะทนไม่ไหวและต้องวิ่งกลับไปให้ช่างตัดอีกสักครั้ง

หากคิดในเชิงของนักลงทุน ค่าตัดผม 100 บาท ควรถือเป็นราคาที่ “ตลาด” ให้การยอมรับร่วมกัน ทั้งฝั่งลูกค้าและฝั่งร้านตัดผม ซึ่งก็แปลว่า คุณค่าที่ลูกค้าได้รับจากการตัดผมนั้น เทียบเท่าจำนวนเงิน 100 บาท ที่จ่ายไป

คุณค่าจากการได้ตัดผม

หลังตัดผมมาใหม่ ๆ เรามักรู้สึกพึงพอใจกับรูปลักษณ์และความเบาสบายศีรษะ จนครั้นเวลาผ่านไป เมื่อเส้นผมเริ่มชี้ไม่เป็นทรง หรือยาวขึ้นจนมาโดนหูโดนคอ ทำให้รู้สึกคันและหงุดหงิด

สิ่งหนึ่งที่ท่านน่าจะสังเกตได้ คือ ถึงแม้เส้นผมจะอยู่บนหัวของเราตลอด 8 สัปดาห์ (ก่อนจะไปตัดผมรอบใหม่) แต่คุณค่าในแต่ละสัปดาห์นั้นไม่เท่ากัน

สมมติคร่าว ๆ ว่าสัปดาห์ที่ 1-6 เป็นช่วงที่ผมเข้าทรง ทุกอย่างเรียบร้อยดี มีความสุข พอสัปดาห์ที่ 7 เริ่มหล่อน้อยลง ความสุขหดหาย แล้วพอสัปดาห์ที่ 8 ความทุกข์มาเยือนเต็มตัว หัวก็ฟู ทั้งร้อนทั้งคัน

หากแปลงให้เป็นเชิงปริมาณ (quantify) โดยกำหนดมูลค่าในแต่ละสัปดาห์ ดังนี้

จะเห็นว่าคุณค่าหรือมูลค่ารวมที่ได้รับ มีค่าเท่ากับเงินที่จ่ายค่าตัดผมพอดี นั่นคือ การตัดผมครั้งนี้ “เสมอตัว” เพราะท่านได้รับมูลค่ากลับมาเท่ากับจำนวนเงินที่จ่ายออกไป และโมเดลของเราก็สอดคล้องกับข้อสังเกตที่ได้กล่าวไปตั้งแต่ต้นว่า ราคาตลาด (ค่าตัดผม) ในปัจจุบันเป็นราคายุติธรรม หรือ fair price

ตัดผมแบบเน้นมูลค่า

ในกรณีที่ยืนพื้นตามโมเดลเดิม แต่ขยับกรอบเวลาการตัดผมให้สั้นลง เช่น จาก 8 สัปดาห์ ลดลงเหลือ 7 สัปดาห์ เราจะพบสิ่งที่น่าสนใจ

สังเกตว่าแม้ท่านจะจ่ายเงินค่าตัดผม 100 บาทเท่าเดิม แต่มูลค่ารวมที่ได้รับกลับเพิ่มขึ้นเป็น 120 บาท เพราะสัปดาห์สุดท้ายอันไม่น่าโสภาถูกกำจัดออกไป โดยแลกด้วย “รอบการตัดผม” ที่เวียนมาถึงเร็วขึ้น

เพื่อเปรียบเทียบกรอบเวลาการตัดผมทั้งสองแบบ

1. หากตัดผมทุก 8 สัปดาห์ ตลอดหนึ่งปีท่านจะตัดผมราว 6.5 ครั้ง เท่ากับเสียค่าตัดผม 6.5 x 100 = 650 บาท และได้มูลค่าจากการตัดผม 650 บาทเช่นกัน

2. หากตัดผมทุก 7 สัปดาห์ ตลอดหนึ่งปีท่านจะตัดผมราว 7.4 ครั้ง เท่ากับเสียค่าตัดผม 7.4 x 100 = 740 บาท

แม้การตัดผมทุก 7 สัปดาห์ จะทำให้ปีหนึ่ง ๆ เสียเงินมากขึ้น 740 – 650 = 90 บาท แต่ท่านไม่ต้องเผชิญ “ช่วงผมยาวรุงรัง” ที่น่ารำคาญ ซึ่งถ้าตัดผมไป 7.4 ครั้ง นั่นก็จะเท่ากับ 7.4 สัปดาห์ หรือประมาณปีละ 52 วัน ตีคร่าว ๆ ก็เกือบสองเดือนที่ชีวิตดีขึ้น แลกกับเงิน 90 บาท

ส่วนจะคุ้มหรือไม่สำหรับแต่ละท่าน ก็ลองพิจารณากันดูครับ