อธิบายความเร่งสู่ศูนย์กลาง

เมื่อแกว่งวัตถุเป็นวงกลม ทุกคนก็รู้จักว่าจะต้องมีความเร่งสู่ศูนย์กลาง

แต่ก็ไม่ค่อยรู้ว่าสูตรมีที่มาอย่างไร ในที่นี้ผมจะแสดงให้ดูตั้งแต่ต้นจนจบ ด้วยแนวคิดที่อาจแตกต่างไปจากที่หลาย ๆ ท่านเคยพบเห็นนะครับ

1. เริ่มจากรากฐาน

เมื่อพูดถึงการเคลื่อนที่แบบวงกลม เราก็ย่อมจะต้องมี รัศมี (r) และเส้นรอบวงซึ่งยาว 2πr เมื่อการเคลื่อนที่กวาดมุมไป ทำให้เกิดระยะทางบนเส้นโค้ง เราจะนิยาม มุม θ (theta - เทต้า) ว่าเท่ากับ ระยะทางบนเส้นโค้ง หารด้วย รัศมี ของวงกลม

อันนี้ไม่ต้องคิดมาก เพราะมันเป็นนิยามนะครับ ข้อสังเกตอันหนึ่ง คือ เมื่อกวาดมุมไปจนเกิดระยะทางยาวเท่ากับรัศมี r พอดี มุม θ ก็จะมีค่าเท่ากับหนึ่ง ซึ่งเรียกว่า 1 เรเดียน นั่นเอง

สมมติว่าการเคลื่อนที่ดังกล่าวใช้เวลา τ (tau หรือ เทา) หากเรานำ τ ไปหารทั้งสองข้าง จะได้ว่า

ฝั่งซ้าย  θ / τ  แท้จริงแล้วก็คือ ความเร็วที่กวาดมุมไปได้ในชั่วระยะเวลาหนึ่ง เรียกสิ่งนี้ว่า อัตราเร็วเชิงมุม ω (omega - โอเมกา) ส่วนฝั่งขวา ระยะทางบนเส้นโค้ง หารด้วย ระยะเวลา τ อันนี้เป็น อัตราเร็วเชิงเส้น v ที่เรารู้จักกัน

ดังนั้น

เป็นที่มาของสมการ  v = ω r  ที่หลายท่านเคยเรียนมาแล้ว

*** สมการข้างต้นนี้จะมีประโยชน์สำหรับการไขสูตรในลำดับต่อไป ***

2. เข้าไปยุ่งกับความเร็ว

เมื่อรากฐานแน่นแล้ว ต่อมาเราจะเข้าเรื่องโดยเข้าไปยุ่งกับจังหวะการเคลื่อนที่ไปบนวงกลมบ้าง

สมมติว่าจุดที่หนึ่งและจุดที่สอง วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v₁ และ v₂ ตามลำดับ สังเกตว่าความเร็วมี ขนาด คงที่ เพียงแต่ ทิศทาง เท่านั้นที่เปลี่ยนไป

ต่อมาเราหยิบเฉพาะลูกศรที่แทนความเร็วมาพิจารณา เมื่อจับเอาหางลูกศรมาต่อกัน จะเห็นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว (Δv) ซึ่งเป็น ลูกศรสีเขียว

หากลดทอนความวุ่นวายลงโดยตัดหัวลูกศรทั้งหมดออก แล้วพิจารณาเฉพาะ ขนาด จะเห็นเป็นรูปสามเหลี่ยมดังนี้

เมื่อนึกถึงความรู้เรขาคณิตพื้นฐาน สามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน เรียกว่า สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งเราจะสามารถ "แบ่งครึ่ง" ออกมาเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน โดยมุมยอด (θ) จะถูกหารสอง เช่นเดียวกันกับด้านฐาน (Δv) ก็จะถูกหารสองด้วยเช่นกัน

พอได้สามเหลี่ยมมุมฉาก เราก็สบายแล้ว เพราะว่าด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม ( Δv / 2 ) จะมีค่าเท่ากับ v sin ( θ / 2 )

และเนื่องจากเรากำลังพิจารณาอัตราเร็ว ณ จุดใดจุดหนึ่งอยู่แล้ว มุม θ ก็ย่อมจะมีค่าน้อย ๆ ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ sin (θ) จะมีค่าประมาณเท่ากับ θ

ประเด็นนี้ทุกท่านสามารถทดลองด้วยตนเองโดยกดเครื่องคิดเลข หรือค้นหาใน Google ระบุว่า "sin 0.02 radian" ผลลัพธ์จะออกมาประมาณ 0.019999 (ทั้งนี้ 0.02 เรเดียน เทียบเท่ามุม 1 องศานิด ๆ) แสดงว่า เมื่อมุมมีค่าน้อย sin (θ) จะมีค่าประมาณ θ นั่นเอง

ดังนั้น

ในบริบทที่มุม θ มีค่าน้อย เราอาจเขียนได้ว่า

ถึงตรงนี้ หากเรานำ τ ไปหารทั้งสองข้างของสมการ และอ้างอิงความรู้จากหัวข้อ 1. (เริ่มจากฐานราก) จะได้

ซึ่งอัตราเร็วที่เปลี่ยนแปลงไป (Δv) ในชั่วระยะเวลา τ  ก็คือ อัตราเร่งสู่ศูนย์กลาง

3. ส่งท้าย

ในความเป็นจริง การพิสูจน์อัตราเร่งสู่ศูนย์กลางสามารถทำได้หลายวิธี บางท่านใช้วิธีสามเหลี่ยมคล้าย หรือบางท่านอาจใช้แคลคูลัส แต่โดยส่วนตัวผมรู้สึกว่า วิธีที่แสดงไปข้างต้นนั้นค่อนข้างชัดเจน ตรงไปตรงมา และเป็นขั้นเป็นตอน

ที่สำคัญ คือ มัน "เจาะ" เข้าไปที่นิยามเลย วาดสามเหลี่ยมรูปเดียว ไม่ต้องเอาไปโยงกับใครให้เกิดความฉงนสงสัยตามมา จึงขอนำมาแบ่งปันด้วยประการฉะนี้